Replik auf „Flipped Classroom nur ein Übergangsmodell?“ von C. Spannagel
Christian Spannagel hat in seinem Blog einen längeren Beitrag mit Überlegungen zu seiner „umgedrehten Mathematikvorlesung“ verfasst. Er endet mit „Wie denkt ihr darüber?“. Nun denn – so denke ich als hauptsächlich (aber nicht nur) in der Grundschule arbeitende Lehrkraft:
Zu den Inhalten:
„Die Mathematik hat mehrere tausend Jahre gebraucht, die Mengenlehre als Abstraktion hervorzubringen. Weshalb sollten wir diese Abstraktion an den Anfang stellen?“
Ich habe Mengenlehre in der ersten Klasse gelernt, noch vor Einführung der Zahlen, mit meinen eigenen Kindern habe ich „Mengenlehre“ in der Kindergartenzeit gespielt. Es kommt dem Wunsch der Kinder entgegen, ihre Welt zu ordnen und zu Dinge zu sortieren. Vom Ding auf seine Eigenschaften abstrahieren zu können, nach Eigenschaften ordnen zu können und Oberbegriffe zu bilden, ist ein wichtiger Lernprozess. Ich vermute, es gehört zu den basalen Fertigkeiten, die man benötigt, um „Mathematik“ lernen zu können (könnte ja mal jemand erforschen….). Von daher macht es für mich Sinn, es an den Anfang auch der Ausbildung zu stellen. Wer die Mengenlehre aber selbst nicht kann, kann Defizite in diesem Bereich bei seinen Schülern nicht erkennen, geschweige denn diese Defizite mit ihnen aufarbeiten.
„In die Aussagenlogik einzuführen kostet unnötig Zeit, und man erlernt eine “Sprache”, die ohne Fleisch versehen ein Werkzeug ist, dass die Studierenden nicht fachmännisch anwenden können. Man gibt ihnen Werkzeuge an die Hand, deren Wirkungsweise sie nicht durchdringen – das zeigt seine Erfahrung (und letztlich auch meine).“
Wir führen in der achten Klasse (Real- und Hauptschule) die Wahrheitstafeln ein – allerdings nicht in Mathematik, sondern in Informatik und Technik. Durch die Anwendung in eigenen Programmen wird die Wirkungsweise und Notwendigkeit der Aussagenlogik deutlich. Gymnasiasten fehlt dieser praktische Zugang leider meistens.
Persönliche Ansicht: Aussagenlogik ist ein mathematisches Spiel. Es übt, Gedanken zu sortieren und schrittweise zu vollziehen. Zirkeltraining für den Geist.
Vollständige Induktion: Ist das nicht mehr Schulstoff?? Für mich war die vollständige Induktion immer das Paradebeispiel eines formalen mathematischen Beweises. Eine gelungene vollständige Induktion ist ein Erfolgserlebnis, die Überarbeitung zu einem „eleganten“ Beweis eine Genugtuung. Und das Schönste: Es ist ein Luftschloss auf dem wackligen Fundament einer hoffentlich wahren Grundannahme. Es wäre schade, dies den Schülern nicht mehr zu vermitteln, zumal es nicht nur ein mathematisches Konstrukt ist.
Grundsätzlich muss ich als Lehrer über ein sehr breites und fundiertes Wissen verfügen, damit ich die didaktischen Reduktion des Stoffes für meine Lerngruppe sinnvoll durchführen, Schwächen des Lehrbuches erkennen und diese ausgleichen kann. Das sieht man aber nicht im 1. Semester.
Zur Methode:
„Flipped classroom“ bedeutet nicht unbedingt Video. Die Stoffvermittlung kann mit jeglichem Medium erfolgen, sogar mit: „Bitte lest die Seiten x bis y im Script/Mathematikbuch.“
Dennoch bietet das „Lehren“ mit Videos Möglichkeiten, die andere Medien nicht bieten.
Ich denke nur – und mehr und mehr Äußerungen in Amerika zeigen eine ähnliche Tendenz -, dass es in diesen Videos nicht darum gehen darf, mathematische „Kochrezepte“ zu vermitteln, also reinen Input zu geben. Khan-Academy (und es gibt viele Videos dieser Machart) ist ganz nett, wenn man etwas wiederholen möchte, was man einmal gelernt, nun aber vergessen hat, eine Art animiertes Lexikon sozusagen.
Die Videos sollten vielmehr zum (Weiter-)Denken anregen und Probleme aufwerfen, mit denen sich die Schüler/Studenten beschäftigen müssen. Ihre Ergebnisse könnten sie dann mit in den Hörsaal bringen, wo diskutiert, gemeinsam ein optimaler Lösungsweg gefunden und der mathematische Inhalt herausdestilliert wird. Das Hauptproblem wird sein, gute Aufgaben zu finden, die Denkwege geschickt in die richtigen Bahnen zu lenken und sich einer strikten Zeitbegrenzung zu unterwerfen. Für den schulischen Bereich bin ich vor Jahren auf „The Adventures of Jasper Woodbury“ gestoßen (http://www.uni-koeln.de/hf/konstrukt/didaktik/anchored/Unterrichtskonzeption%20Anchored%20Instruction.htm).
Solche Videos wünsche ich mir für den „inverted classroom“!
Für mich sind Diskussion und Argumentation im Plenum von besonderer Wichtigkeit. Die Frage ist, ob das bei Gruppen in Hörsaalgröße möglich ist. Mathematik nachvollziehbar erklären und sich mathematisch sachgerecht ausdrücken können, ist aber eine Kompetenz, die Lehrer unbedingt brauchen!
Das Konzept von Prof. Baireuther sehe ich mit Skepsis.
„Die Studierenden sollen vielmehr exemplarisch eigene Erfahrungen machen und systematisieren lernen. Sie sollen lernen, was es bedeutet, mathematisch tätig zu sein, und nicht “Mathematik” lernen.“
Das mit den „eigenen Erfahrungen“ klappt gut, wenn die Schüler/Studenten entsprechendes Vorwissen haben oder/und eine besondere Affinität zur Mathematik haben. Das Gros der Studenten wird nichts entdecken, denn man kann nur das entdecken, wonach man sucht. Wenn man aber nicht weiß, worauf man (oder die Vorlesung) hinaus will, entdeckt man vieles nicht, dafür aber auch viel Falsches. Bei „exemplarisch“ zucke ich immer zusammen. Das ist Bruchstückwissen. Was wir in der Praxis brauchen, sind Lehrer mit einem breiten Grundlagenwissen, das auch noch in der Tiefe vernetzt ist. Erst dann erhalte ich die Souveränität, später im Unterricht „über den Dingen“ zu stehen und sowohl den Schülern, die ihrer Klasse voraus sind, reichhaltige Anregungen und sachlich richtige Hilfen zu geben, als auch bei schlechten Mathematikleistungen zu erkennen, an welchen Stellen grundlegende Fehlkonzepte vorliegen und wie ich diese möglichst effektiv und ökonomisch berichtigen kann. Das, was wir im Unterricht benötigen, geht weit über das hinaus, was in dem Schulbuch der jeweiligen Klassenstufe gefordert wird, wenn man besonders befähigte Kinder in der Klasse hat, muss man sogar noch eine Schippe drauflegen.
Herr Bernsen hat (neben vielen anderen) einen ausführlichen Kommentar zu Spannagels Artikel in seinem eigenen Blog veröffentlicht. Dort ist mir ein Passus besonders aufgefallen:
„Was allen Praxisbeschreibungen, soweit ich das überblicke, hingegen gemeinsam ist, ist die Aktivierung der Lernenden, die zunehmend individuell, kollaborativ und eigenverantwortlich ihre Lernprozesse organisieren. Damit verbunden natürlich eine gewandelte Rolle des Lehrers/Dozenten.“
Ähnlichen Aussagen bin ich auch in einigen amerikanischen Quellen begegnet. Als Grundschullehrer bin ich da sehr verwundert. Die Aktivierung der Lernenden ist unser täglich Brot, die Hinführung zu eigenverantwortlichem Lernen eines unserer Hauptziele (wobei es bei uns eher darum geht, eine Umgebung zu schaffen, in die Fähigkeit selbstständig zu lernen, die die meisten Kinder bei Schuleintritt mitbringen, nicht unterdrückt, sondern kanalisiert wird). Für mich ist es immer wieder erstaunlich zu sehen, wie „revolutionär“ für die weiterführenden Schulen das zu sein scheint, was in unserer Schulform nahezu Standard geworden ist. Und wie schade, dass dieses Können der Kinder ab Klasse 5 nicht mehr abgerufen und ausgebaut wird.
Ich denke, man muss im „flipped classroom“ zwei Arten von Videos unterscheiden – die einen, die den Unterricht voranbringen, Probleme aufzeigen, Aufgaben stellen und herausfordern, Wissen selbst zu konstruieren, und die anderen, die im Nachhinein als Wissenspeicher und zur Wiederholung des Gelernten dienen können. Spannagels Videos gehören (trotz der Einbindung von Quiz-Elementen zur Selbstüberprüfung) wohl eher zu den letzteren, da dort nur Wissen reproduziert werden muss.
Neues aus dem Baumhaus 
Ja, das ist wohl so: Nach meiner Beobachtung verstehen sich an den Gymnasien viele Kollegen immer noch vorrangig als Wissensvermittler.
Der Kommentar hat mir gut gefallen, auch wenn ich an einigen Stellen nicht ganz mitgehen kann. Ich würde etwa unterschreiben, dass jemand nur „finden“ kann, was er oder sie sucht. „Entdeckungen“ können nach meinem Verständnis aber auch zufällig gemacht und dennoch wertvoll sein.
In der BWL gibt es unter dem Schlagwort „Serendipity“ zahlreiche Beispiele für Produkte, die nebenbei und unbeabsichtigt entstanden sind, obwohl an etwas ganz anderem gearbeitet wurde. Ebenso können Lernende auch abseits des „vorgesehenen“ Weges etwas lernen, und trotzdem am Ziel ankommen. Eine wichtige Frage scheint mir dabei bloß zu sein, um welches und wessen Ziel es geht.
Zur Mengenlehre: In den 60er Jahren hat man mit „Neuer Mathematik“ (New Math) versucht, das Curriculum an der Fachsystematik der Mathematik zu orientieren und ist damit kläglich gescheitert. Das lag sicher nicht nur am Widerstand der Eltern und Lehrer, sondern im Wesentlichen an einem Irrtum: Die Reihung der Lerninhalte sollte nicht an der Fachsystematik orientiert werden, sondern an der Entwicklung der Kinder. Mengenlehre ist reine Abstraktion, und Abstraktion kommt am Ende, nicht am Anfang. Man braucht zahlreiche Erfahrungen, von denen man abstrahieren kann. Abstraktion ohne etwas, wovon man abstrahieren kann, ist leer und bedeutungslos.
Zur Vollständigen Induktion: Ja, sie ist Schulstoff, und sie gehört da ebenso abgeschafft. Aber vielleicht noch zur Erklärung: Meine Studierenden werden Grundschullehrer(inn)en, und da zählt vollständige Induktion nicht zum Schulstoff.
Deine Überlegungen zu den Videos teile ich, deine Überlegungen zu den Entdeckungen nur teilweise: Wie kann man denn „Falsches“ entdecken? Was genau meint denn „falsch“? Das, was man als Lehrperson nicht beabsichtigt hat? Aber vielleicht ist ja gerade diese Entdeckung interessant?
Natürlich muss das fachliche Wissen des Lehrers weit über das der Schüler hinausgehen. Aber, die Frage ist: In welche Richtung hinaus? Es gibt „jede Menge mehr“ Fachwissen als das, was in der Grundschule vermittelt wird. Aber welches davon brauchen Grundschullehrer? Alles? Geht nicht. Also was wählt man aus und was nicht? Weshalb vollständige Induktion? Weshalb Aussagenlogik? usw.
… und ergänzend: Ich wünsche mir in der Hochschule eine methodisch ähnlich an Eigenaktivität orientierte Lehre wie in der Grundschule. Wenn ich anders herum denke, also wenn ich mir vorstelle, dass unsere Grundschullehrer genauso in der Grundschule unterrichten, wie sie es an der Hochschule als Lernende erfahren, wird mir manchmal schlecht.
Ich war der erste Jahrgang „Mengenlehre“ an meiner Grundschule, mathematisches Versuchskaninchen. Für uns war die Mengenlehre nicht abstrakt – wir haben konkret Dinge, später geometrische Formen mit unterschiedlichen Eigenschaften sortiert (Form, Farbe, Dicke, Oberflächenbeschaffenheit, Größe) und damit Mengenlehre betrieben – und auch mathematisch notiert (ist Element von, geschnitten mit, vereinigt mit). Natürlich auf einfachem Niveau, aber bis zu 3 Mengen mit Schnittmengen müssen wir gekommen sein. Ich rede von Klasse 1. Mir scheint ein wesentliches Element des Anfangsunterrichts Mathematik zu sein, bei den Kindern das notwendige Abstraktionsvermögen auszubilden. Die Zahlreihe können die meisten Kinder aufsagen, viele auch rechnen. Aber sie schaffen es nicht, Handlungen oder Situationen zu mathematisieren (wir sagen dazu: „Rechengeschichten erzählen“). Sie können sich nicht vom Konkreten lösen und auf die symbolische Ebene wechseln. Hühner und Schweine kann man erst sinnvoll addieren, wenn man auf den Oberbegriff „Tier“ wechselt. Ich vermute, dass sich diese Fähigkeit aber durch eine entsprechende Schulung in Mengenlehre anbahnen lässt. Mit jedem ersten Schuljahr führe ich die Piaget-Versuche zur Mengeninvarianz durch und mir ist deutlich geworden,dass die Fehleinschätzung vieler Kinder damit zusammenhängt, dass sie nie solch einer Fragestellung ausgesetzt worden sind, also die erforderlichen Erfahrungen gar nicht machen konnten.
Vollständige Induktion ist in meinem Bundesland in der Schule (Oberstufe) bereits abgeschafft. Deine Argumentation, dass etwas „nicht für Grundschullehrer“ sei, kann ich aber nicht nachvollziehen. Bildet ihr nicht auch HS und RS aus? Da wir mit unserem Abschluss in verschiedenen Schulformen arbeiten werden, müssen wir auf alles vorbereitet werden. Und darüber hinaus! Wir haben Hauptschüler, die aus Gründen auf der HS gelandet sind, die mit ihren kognitiven Fähigkeiten nichts zu tun haben. Diese muss ich ihren Fähigkeiten entsprechend fördern können – und nicht dem, was das HS-Schulbuch zufällig in unserem Bundesland vorgibt. Für RS-Schüler gilt entsprechendes.
Wie man „Falsches“ entdecken kann? Indem man aus seinen Beobachtungen falsche Schlüsse zieht, weil man entweder einen Denkfehler macht, zu voreilig ist oder einem der große Überblick/Weitblick fehlt. Ungeduldige, impulsive Kinder/Menschen können das sehr gut 🙂 . Ich meinte damit wirklich sachlich Falsches, nicht „Anderes“ oder „Unerwartetes“ oder „über den Stoff Hinausgehendes“. Solche Dinge greifen wir spätestens in der nächsten Stunde (dann gut vorbereitet) auf.
Was braucht man als Grundschullehrer?
Ich habe gerade ein Mathebuch für Klasse 4, das mein Ältester als „Enrichment“ an die Hand bekam. Dort finden sich u.a.die Themen: „Topologische Grunderfahrungen: Netze und Gebiete“ und „Mengen und Relationen“ (u.a. Einteilung von Klassen, Eigenschaften von Relationen). Warum brauche ich das heute nicht mehr? Dagegen benötige ich in der GS Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik, von denen ich selbst erst in der Oberstufe hörte. Und ich treffe immer wieder auf Kinder, die mich fachlich herausfordern oder Situationen, die geradezu danach schreien, Stoff der weiterführenden Schule bereits anzubahnen – Bruchrechnung, negativer Zahlenraum, Primzahlzerlegung, ggT und kgV, Potenzrechnung mit ganzzahligen positiven Exponenten…
„Was wählt man aus und warum?“ scheint wirklich die zentrale Frage zu sein. Da hätten wir als Lehrer schon mal ganz gerne vor allem eine gewisse Konstanz und mehr Transparenz im Entscheidungsprozess. Gerne auch mit Statistik und aussagekräftigen Forschungsergebnissen unterfüttert.
Was ist eigentlich aus dem Sinus bzw. Sinus-Transfer geworden? Kümmert sich noch wer darum?
Die Methodik ist ein echtes Problem.
Ich habe etwas Zweifel, ob sich der „normale“ Vorlesungsbetrieb dazu eignet, auch noch Methodenvielfalt zu lehren.
Wir haben einiges in Seminaren gelernt. Guter Trick, bei Sitzungen mit studentischen Vorträgen zu fordern, dass jeweils eine Phase der Aktivierung der Kommilitonen stattfinden muss, wobei sich keine Methode wiederholen darf. Es bleibt aber ja auch noch die zweite Phase der Ausbildung, um im Pädagogikseminar oder an der eigenen Schule weitere Methoden kennenzulernen.
Eine wahre Schatzkiste dafür ist der „Methodenpool“ der Uni Köln:
http://www.uni-koeln.de/hf/konstrukt/didaktik/uebersicht.html
Wichtig ist, dass die Studierenden ihre eigene Schulerfahrung ablegen und sich auf neue Methoden und veränderten Unterricht einlassen können. Aber da gibt es leider eine Studie (wer? wann? Titel?), die eher das Gegenteil, nämlich einen Rückfall in das selbst erlebte Unterrichtsmodell und damit eine stete Reproduktion „alter Schule“ erwarten lässt.
Mengen sind Abstraktionen, das ist klar. Aber Abstraktionen bilden sich erst über einen längeren Umgang mit konkreten Situationen heraus. Weshalb sollten wir also die Abstraktion an den Anfang stellen? Abstraktion ist ein Prozess, der sich in jedem Menschen selbst vollziehen muss. Es hilft nichts, abstrakte Konzepte zu vermitteln, wenn es für diese weder ausreichend Erfahrung gibt noch eine Einsicht, dass man sie braucht. Wie genau machst du deinen Erstklässlern klar, wofür sie Mengenlehre brauchen? Wozu nützt das? Ist das nicht diejenige Mathematik, bei denen Schüler berechtigterweise fragen „Wozu brauchen wir das?“ und man als Lehrer geneigt ist zu antworten „Das braucht ihr später mal.“?
Natürlich kann man Mengenlehre an den Anfang der ersten Klasse stellen und mit den Schülern gemeinsam Mengen vereinigen und schneiden usw. (by the way: wozu brauchen Schüler eigentlich das Konzept der Schnittmenge?). Ich halte es da aber für ziemlich deplatziert. Schüler in der ersten Klasse kommen mit einer gewissen Erwartungshaltung und Motivation in den Matheunterricht – und werden mit Mengenlehre konfrontiert? Finde ich aus fachwissenschaftlicher Sicht vielleicht möglicherweise plausibel, aus pädagogischer Sicht aber äußerst seltsam. Und wenn man sich auf Piaget bezieht (alle Kritik mal beiseite gelassen), dann sollte man mit berücksichtigen, dass das Abstraktionsvermögen in der konkret-operationalen Phase eben noch nicht so weit ausgeprägt ist. Der Begriff der Mengeninvarianz hat übrigens eher was mit Umschüttversuchen (Volumina) zu tun und weniger mit Mengenlehre.
Für die Mathematisierung von Sachsituationen brauche ich keine Mengenlehre.
Zu deiner Schulstufen-Frage: Ja, wir bilden auch HS- und RS-Lehrer aus, die sitzen aber nicht in meiner Veranstaltung. Meine Veranstaltung besuchen Studierende des Grundschul-Lehramts.
Deine Frage „Warum brauche ich das heute nicht mehr?“ würde ich gerne umformulieren in „Wozu braucht man das denn überhaupt?“. Letztlich sind diese curricularen Fragen natürlich normative Fragen (wir einigen uns darauf, was wichtig ist und was nicht). Es lässt sich auch nicht empirisch beantworten, ob es für Lehrer jetzt besser ist, sich mit der formalen Definition von Relationen befasst zu haben oder nicht.
„Da hätten wir als Lehrer schon mal ganz gerne vor allem eine gewisse Konstanz und mehr Transparenz im Entscheidungsprozess.“ Die Konstanz haben wir ja schon. Konstanz ist aber kein Qualitätsmerkmal. Ich würde gerne von dem traditionellen Kanon weg. Das muss nicht zur Beliebigkeit führen, sondern zur Weiterentwicklung. Und zur Transparenz: Das machen wir ja gerade hier. 🙂
Die Gefahr, dass jemand in sein altes Modell zurückfällt, ist kein Gegenargument, neue Modelle in der Hochschule durchzuführen. Anders gesagt: Weshalb sollte man alte Modelle weiterverfolgen, nur damit niemand dahin zurückfallen kann? 🙂
Nur als Einwurf ohne fachdidaktischen Bezug oder pädagogischen Hintergrund, Gunter Dueck (http://www.omnisophie.com/day_156.html):
„Kinder wollen erst Beispiele, dann Theorien. Lehrpläne predigen Theorie und merken, dass sie nicht verstanden werden (weil die Theorie zu trocken ist). Dann erklären Lehrer die Theorie der Lehrpläne mehrmals, was nicht weiterhilft – einfache Beispiele und Tun würden es ja bringen… dafür ist aber keine Zeit, weil viele Schüler auch nach dem vierten Mal Theorie nichts verstanden haben.
Als ich einmal in Göttingen Wirtschaft studierte, demonstrierten wir gegen den Schah von Persien und gegen Mikroökonomie II, die wir absolut nur lernen, aber nicht verstehen konnten. „Wo ist der Sinn?“, riefen wir, als schließlich zwei zögernde Assistenten herauskamen und uns beruhigen wollten: „Ihr Studenten, alle Studiengänge der Universität beginnen mit trockener Theorie, deren Sinn man erst im Hauptstudium versteht oder bei der Dissertation ganz bestimmt. Es braucht lange, die Grundlagen eines Fachs so sehr abstrakt vorzubereiten, dass man darauf aufbauend ganz redundanzfrei alle denkbaren Theorien beweisen kann. Da darf man am Anfang noch keine Fragen nach dem Sinn und einem ganzheitlichen Verstehen stellen. Der Sinn oder der Zusammenhang des Ganzen wird auch im Hauptstudium nie erklärt, aber er wird dann schon implizit klar, wenn man begabt genug ist, ihn von selbst zu erfassen. Das Wesen der Wissenschaft erschließt sich dem von selbst, der lange genug Bruchstücke davon in sich aufnimmt, Credit Point für Credit Point. So will es die Theorie.“ (Inzwischen hatten wir die Finanzkrise, die heute auch als eine der ökonomischen Wissenschaft begriffen wird – der Zusammenhang zwischen der Mikroökonomie II und der Realität hat sich immer noch nicht von selbst eingestellt.)“